贵州省住房和城乡建设厅官网站首页哪里做网络推广

贵州省住房和城乡建设厅官网站首页,哪里做网络推广,南部县房产网,济宁网站制作唐人栈的经典应用#xff1a;输入序列为1,2,3时#xff0c;能生成多少种不同的出栈序列#xff1f; 在数据结构中#xff0c;栈#xff08;Stack#xff09; 是一种“后进先出”#xff08;LIFO#xff09;的线性结构#xff0c;广泛应用于表达式求值、括号匹配、函数调用…栈的经典应用输入序列为1,2,3时能生成多少种不同的出栈序列在数据结构中栈Stack是一种“后进先出”LIFO的线性结构广泛应用于表达式求值、括号匹配、函数调用等场景。而一个经典的问题是给定一个输入序列 1, 2, 3通过合法的入栈和出栈操作可以得到多少种不同的输出序列 问题分析这个问题本质上是在问长度为 n 的入栈序列其所有可能的出栈序列数量是多少这是一个经典的卡特兰数Catalan Number问题。对于长度为nnn的序列其合法的出栈序列总数为第nnn个卡特兰数Cn1n1(2nn) C_n \frac{1}{n1} \binom{2n}{n}Cn​n11​(n2n​)当n3n 3n3时C314(63)14×205 C_3 \frac{1}{4} \binom{6}{3} \frac{1}{4} \times 20 5C3​41​(36​)41​×205所以答案是5 种不同的出栈序列。 枚举验证n 3我们手动列出所有可能的合法出栈序列输入顺序固定为 1 → 2 → 31, 2, 3操作push(1), pop → push(2), pop → push(3), pop1, 3, 2操作push(1), pop → push(2), push(3), pop, pop2, 1, 3操作push(1), push(2), pop, pop → push(3), pop2, 3, 1操作push(1), push(2), pop → push(3), pop, pop3, 2, 1操作push(1), push(2), push(3), pop, pop, pop⚠️ 注意像3,1,2这样的序列是不可能出现的因为在 3 出栈时1 和 2 必须还在栈中且 2 在 1 之上所以 1 不可能在 2 之前出栈。因此总共只有 5 种合法序列。✅ 结论当输入序列为1, 2, 3时通过合法的栈操作入栈/出栈最多可以得到 5 种不同的输出序列。这正是卡特兰数C35C_3 5C3​5的体现。 扩展思考若输入序列为1,2,...,n则不同出栈序列数为第nnn个卡特兰数。卡特兰数还出现在二叉树的结构数、合法括号序列数、凸多边形三角划分数等组合问题中。 参考公式第nnn个卡特兰数的几种等价表达Cn(2n)!(n1)!n!(2nn)−(2nn1) C_n \frac{(2n)!}{(n1)!n!} \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n1}Cn​(n1)!n!(2n)!​(n2n​)−(n12n​)前几项为C01, C11, C22, C35, C414, C542, …C_0 1,\ C_1 1,\ C_2 2,\ C_3 5,\ C_4 14,\ C_5 42,\ \dotsC0​1,C1​1,C2​2,C3​5,C4​14,C5​42,…循环队列元素个数计算深入理解头尾指针与模运算在数据结构中循环队列Circular Queue是一种高效利用数组空间的线性结构。相比普通队列它通过“首尾相连”的方式解决了“假溢出”问题。然而循环队列中如何正确计算当前元素个数常常成为初学者容易混淆的难点。今天我们就来详细解析一道经典题目设顺序循环队列Q[0:M-1]的头指针和尾指针分别为F和R其中头指针F总是指向队头元素的前一位置尾指针R总是指向队尾元素的当前位置则该循环队列中的元素个数为 选项如下A.F - RB.R - FC.(F - R M) % MD.(R - F M) % M✅正确答案D.(R - F M) % M 一、理解指针定义是关键题干明确指出F指向队头元素的前一个位置→ 即真正的队头元素位于(F 1) % MR指向队尾元素的当前位置→ 即最后一个入队的元素就在R这种定义方式在教材中非常常见如严蔚敏《数据结构》目的是为了统一空队列和满队列的判断逻辑通常会牺牲一个存储单元。 二、推导元素个数公式我们先考虑非循环情况即普通线性队列若F 2R 5那么元素个数 5 - 2 3对应位置 3,4,5但在循环队列中R可能小于F例如队列“绕了一圈”假设M 8数组大小为8下标 0~7F 6R 2队列元素分布在7, 0, 1, 2 → 共 4 个元素直接R - F 2 - 6 -4❌ 显然不对因此我们需要加上数组长度 M 再取模确保结果非负且正确元素个数(R−FM) mod M \text{元素个数} (R - F M) \bmod M元素个数(R−FM)modM验证上面例子(2 - 6 8) % 8 (4) % 8 4✅ 正确再验证正常情况F 1,R 4,M 8(4 - 1 8) % 8 11 % 8 3✅元素在 2,3,4⚠️ 三、为什么其他选项错误A.F - R符号反了且未处理循环B.R - F在R F时为负数不合法C.(F - R M) % M这是从R到F的距离实际是空闲空间数而非元素个数 小技巧元素个数 (尾 - 头 容量) % 容量前提是理解“头指针指向队头前一位置”。 四、补充空队列与满队列的判断在本题设定下F指向队头前一位置R指向队尾队空条件F R队满条件(R 1) % M F牺牲一个单元这也进一步说明为何不能简单用R - F—— 因为满队时R和F并不相等但差值接近M-1。✅ 总结项目说明队列类型顺序循环队列头指针F指向队头元素的前一位置尾指针R指向队尾元素的当前位置元素个数公式(R - F M) % M正确选项D掌握这个公式不仅能应对考试题更能深入理解循环队列的底层机制栈的出栈序列问题已知第一个出栈元素为 i第 j 个出栈元素能确定吗在数据结构中栈Stack是一种“后进先出”LIFO, Last In First Out的线性结构。一个经典且高频的问题是给定一个入栈序列为1, 2, 3, ..., n的栈若其输出序列的第一个元素是i其中1≤i≤n1 \leq i \leq n1≤i≤n那么第j个出栈的元素是多少选项如下A.n - iB.不确定C.iD.j - i 1✅正确答案B. 不确定 一、问题核心出栈顺序是否唯一很多初学者会误以为“只要知道第一个出栈的是谁后面的顺序就能推出来”。但事实并非如此关键点栈的操作具有非确定性在任意时刻你可以选择继续入栈也可以选择出栈只要栈非空。因此即使固定了第一个出栈元素为i后续的出栈顺序仍可能有多种合法组合。 二、举例说明为什么“不确定”假设n 4入栈序列为1, 2, 3, 4。情况1第一个出栈的是3即i 3要让3第一个出栈必须先将1, 2, 3入栈然后弹出3。此时栈内为[1, 2]栈底到栈顶尚未入栈的是4。接下来的操作可以有多种选择可能的出栈序列以 3 开头3, 2, 1, 43, 2, 4, 13, 4, 2, 1注意3, 1, ...是非法的因为2在1上面必须先弹出2才能弹出1。现在看第j 2个出栈元素在序列1中是2在序列2中是2在序列3中是4→第2个元素可能是2或4不唯一再看j 3可能是1或4或2……因此仅知道第一个出栈元素是i无法唯一确定第j个出栈元素。❌ 三、分析错误选项A.n - i→ 这是一个固定值但如上例n4, i3n-i1而第2个元素可能是2或4显然不对。C.i→i是第一个出栈元素不是第j个除非j1。D.j - i 1→ 无实际意义。例如i3, j2结果为0根本不在1~n范围内。✅ 四、结论为什么选“不确定”因为栈的操作在每一步都有选择自由度入 or 出即使约束了第一个出栈元素后续操作仍有多种合法路径因此第j个出栈元素不是唯一确定的依赖于中间的具体操作序列。只有当整个出栈序列被完全指定时才能确定每个位置的元素仅凭首元素信息不足。 五、延伸思考若题目改为“输出序列的第k个元素是x问是否合法”——这是典型的栈混洗Stack Permutation判定问题可用模拟法或卡特兰数相关性质判断。若给出完整的出栈序列可通过模拟入栈/出栈过程验证其合法性。✅ 总结条件能否确定第 j 个出栈元素仅知入栈序列为1..n否有CnC_nCn​种可能已知第一个出栈元素为i仍然不能确定已知完整操作序列或完整出栈序列可以确定因此本题正确答案是B. 不确定二叉排序树的形状由什么决定深入解析构建过程的关键因素在数据结构中二叉排序树Binary Search Tree, BST是一种非常重要的动态查找结构。它具有如下性质若左子树非空则左子树上所有节点的关键字小于根节点若右子树非空则右子树上所有节点的关键字大于根节点左右子树本身也分别是二叉排序树。那么问题来了由一个关键字序列建立一棵二叉排序树该二叉排序树的形状取决于 选项如下A. 该序列的存储结构B. 序列中关键字的取值范围C.关键字的输入次序✅D. 使用的计算机软、硬件条件✅正确答案C. 关键字的输入次序 一、为什么是“输入次序”二叉排序树是动态插入构建的第一个关键字作为根节点后续关键字依次按 BST 规则插入到合适位置。这意味着相同的元素集合若插入顺序不同生成的树结构可能完全不同 举个例子关键字集合{1, 2, 3}情况1按1 → 2 → 3插入1 \ 2 \ 3→ 退化为单支链表高度为 3。情况2按2 → 1 → 3插入2 / \ 1 3→ 完全平衡的 BST高度为 2。情况3按3 → 2 → 1插入3 / 2 / 1→ 又是一条左斜链表。结论元素相同但插入顺序不同 → 树形不同❌ 二、其他选项为何错误A. 该序列的存储结构→ 无论是数组、链表还是其他结构只要按顺序读取关键字插入 BST结果只与逻辑顺序有关与底层存储无关。B. 序列中关键字的取值范围→ 取值范围影响的是数值大小但 BST 的构建只依赖相对大小关系和插入顺序而非绝对范围。例如{10,20,30}和{1,2,3}在相同插入顺序下结构完全一致。D. 使用的计算机软、硬件条件→ BST 是逻辑结构其形状由算法逻辑决定与运行环境无关除非程序有 bug 。 三、延伸思考如何避免退化正因为 BST 的形状依赖输入次序最坏情况下会退化成链表导致查找/插入/删除时间复杂度从O(log⁡n)O(\log n)O(logn)恶化为O(n)O(n)O(n)。为解决此问题后续发展出多种自平衡二叉搜索树AVL 树严格平衡红黑树近似平衡Treap、Splay 树等它们通过旋转等操作在插入/删除时自动调整结构保证树的高度始终接近log⁡n\log nlogn。✅ 四、总结因素是否影响 BST 形状说明关键字集合否仅内容相同集合可生成不同树关键字输入次序✅是决定性因素存储结构否逻辑顺序才关键取值范围否只需支持比较操作软硬件环境否与算法逻辑无关牢记二叉排序树的结构 插入顺序 关键字之间的大小关系满二叉树的性质深度解析节点数、叶子数与深度的关系在数据结构中满二叉树Full Binary Tree是一类结构非常规整的二叉树具有重要的理论价值和应用背景。理解其基本性质有助于我们高效解决树相关的算法与计算问题。今天我们就来深入分析一道经典考题对于一棵满二叉树有m个叶子结点n个总结点深度为h则下列关系成立的是 选项如下A.h m 2nB.n 2^h - 1✅C.n h mD.m h - 1注意题目中的选项 B 写作 “n2h-1” 实际应为n 2^h - 1即 2 的 h 次方减 1这是满二叉树的标准公式。若按字面理解为2h - 1则是错误的但结合上下文和标准知识此处显然是指数形式的排版省略。✅正确答案B理解为n 2^h - 1 一、什么是满二叉树满二叉树的定义是一棵深度为h的二叉树每一层的结点数都达到最大值即第i层从 1 开始计数有2^{i-1}个结点。因此第 1 层根1 个结点第 2 层2 个结点第 3 层4 个结点…第 h 层2^{h-1}个结点全部是叶子总结点数nn124⋯2h−1∑k0h−12k2h−1 n 1 2 4 \cdots 2^{h-1} \sum_{k0}^{h-1} 2^k 2^h - 1n124⋯2h−1k0∑h−1​2k2h−1叶子结点数m满二叉树的叶子全部位于最后一层故m2h−1 m 2^{h-1}m2h−1 二、验证各选项✅ 选项 Bn 2^h - 1如上推导完全正确。举例h 3→n 2^3 - 1 7结构如下o / \ o o / \ / \ o o o o ← 4 个叶子m4总结点n 7符合公式。❌ 选项 Ah m 2n代入h3, m4, n7→ 左边 347右边 14 → 不成立。❌ 选项 Cn h m7 3 4 7→ 咋一看成立再试h2n 3,m 2,h 2→3 2 2 4❌ 不成立。所以只是巧合不具普遍性。❌ 选项 Dm h - 1h3时m4但h-12→ 明显错误。 三、补充满二叉树的重要性质汇总性质公式深度为h的满二叉树总结点数n 2^h - 1叶子结点数m 2^{h-1}非叶子结点数n - m 2^{h-1} - 1叶子数与总结点数关系m (n 1) / 2深度与叶子数关系h log₂(m) 1 特别注意满二叉树 ≠ 完全二叉树满二叉树所有层都满完全二叉树除最后一层外都满且最后一层靠左填充。✅ 四、结论本题考查对满二叉树结构性质的理解。关键在于牢记深度为h的满二叉树总结点数n 2^h - 1因此正确答案是B⚠️ 温馨提示在手写或排版受限时“2^h” 常被简写为 “2h”但务必结合上下文判断是否为指数表达如果你觉得这篇文章帮你理清了满二叉树的核心公式欢迎点赞、收藏⭐、转发也欢迎留言讨论其他树形结构的性质